Astuces (fonctions)

Voici toutes les astuces du chapitre sur les fonctions

Axe de symétrie d'une parabole

Pour une parabole $f(x)=ax^2+bx+x, a\neq 0$, l'axe de symétrie est donné par l'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$.

Droites perpendiculaire

Le produit de la pente de droite perpendiculaire vaut $-1$, donc si $a\neq 0$ et $a'\neq 0$ sont les pentes de deux droites perpendiculaires, $a'=-\dfrac{1}{a}$.

Etude complète d'une parabole

Pour réaliser une étude complète d'une parabole, il faut:
1) Déterminer les zéros de la parabole
2) Déterminer le point d'intersection avec l'axe des ordonnées
3) Détermine ensuite l'axe de symétrie
4) Déterminer le sommet de la parabole
5) Déterminer la concavité et réaliser un tableau de signes
6) Utiliser les informations pour représenter graphiquement la parabole (en utilisant les points particuliers et le tableau de signes)

Forme canonique

Pour passer de la forme générale à la forme canonique, on peut utiliser deux méthodes :
1) Calcul du sommet par la formule $S\left(-\dfrac{b}{2a};f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$. Puis substition dans la forme canonique: \[f(x)=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\]
2) Complétion du carré :
$\begin{aligned} f(x)&=ax^2+bx+c\\ &=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c\\ &=a\left(x^2+ \dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2 }{4a^2 }-\dfrac{b^2 }{4a^2 }\right)+c\\ &=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2 }{4a}+c\\ &=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2 -4ac}{4a}\ \end{aligned}$

Forme factorisée

Pour passer de la forme générale à la forme factorisée d'une parabole $f$, on utilise les zéros de la parabole. Les zéros sont les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$.
Si $\Delta\geq 0$. On a $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Ainsi, la forme factorisée est donnée par \[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).\]

Formule de la pente

La pente entre deux points $A(A_x;A_y)$ et $B(B_x;B_y)$ vaut \[\text{pente }(A;B)=\dfrac{A_y-B_y}{A_x-B_x}.\] Cette formule ne fait du sens que si $A_x\neq B_x$. On remarque également que cette formule est symétrique, $\text{pente }(A;B)=\text{pente }(B;A)$.

Point appartenant au graphe d'une fonction

Un point $(A_x; A_y)$ appartient au graphe d'une fonction $f$ (noté $G_f$) si et seulement si $f(A_x)=A_y$.

Point d'intersection

Soient deux courbes décrites par les fonctions $f$ et $g$.
Afin de déterminer les points d'intersection (s'il y en a) entre les deux courbes, on égalise leur expression et on résout l'équation ainsi obtenue \[f(x)=g(x)\] La solution de cette équation nous fournit la coordonnées de abscisse des possibles points d'intersection.
On substitue ensuite cette coordonnée dans l'une des deux expressions afin de calculer la coordonnée des ordonnées.
On peut choisir n'importe laquelle des deux courbes.

Points alignés

Pour vérifier si trois points $A, B, C$ sont alignés, il suffit de vérifier que $\text{pente}(A;B)=\text{pente}(A;C)$.

Points d'intersection de deux droites

Dans le cas particulier de deux droites $d_1:y=ax+b$ et $d_2:y=cx+d$, l'intersection $d_1\cap d_2$ est donnée par la solution du système d'équation \[\begin{cases} y&=ax+b\\y&=cx+d\end{cases}\] On peut résoudre ce système en commençant par égaliser les deux expressions pour obtenir une équation en une seule variable \[ax+b=cx+d\]

Représenter une fonction affine

Pour représenter une fonction affine, il suffit de déterminer deux points appartenant au graphe de la fonction, de les placer sur un repère et de les relier. On a l'habitude de placer un troisième point comme outil de vérification. On peut également représenter une fonction affine en utilisant sa pente et son ordonnée à l'origine.

Sommet d'une parabole

Pour une parabole $f(x)=ax^2+bx+c, a\neq 0$, le sommet est donné par les coordonnées $\left(-\dfrac{b}{2a};f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$.

Tableau de signes d'une paraboles

Pour réaliser un tableau de signes, on commence par déterminer les zéros de la parabole. On place sur la première ligne les zéros dans un tableau avec des bornes $-\infty$ et $+\infty$ aux extrémités. On évalue la parabole pour des valeurs dans les intervalles délimités par les zéros pour obtenir le signe de la parabole dans cet intervalle. On peut aussi utiliser nos connaissances sur les variations de la fonction pour déterminer les signes.