Exemples (fonctions)

Voici tous les exemples du chapitre sur les fonctions

Déterminer la hauteur issue d'un sommet

Soit le triangle $ABC$ avec $A(0;1)$, $B(-2;3)$ et $C(-8;7)$. Déterminer la longueur de la hauteur issue de $A$.
On a que a droite $BC$ a comme équation réduite $y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$. On cherche à présent la droite perpendiculaire à $BC$ passant par $A$. La pente de cette droite vaut $\dfrac{3}{2}$ et on détermine son ordonnée à l'origine en utilisant l'information qu'elle passe par $A$. Donc $1=\dfrac{3}{2}\cdot 0+b$ d'où $b=1$.
Ainsi, l'équation de la droite est $y=\dfrac{3}{2}x+1$.
On détermine le point d'intersection entre cette droite et $BC$ pour obtenir $H(\dfrac{4}{13};\dfrac{19}{13})$. La distance entre $A$ et $H$ est donnée par $\text{dist}(A;H)=\sqrt{(\dfrac{4}{13}-0)^2 +(\dfrac{19}{13}-1)^2 }=2\dfrac{\sqrt{13}}{13}$.

Déterminer si un quadrilatère est un carré

Montrer que le quadrilatère $ABCD$ avec $A(0;-1), B(-3;1), C(-5;-2)$ et $D(-2;-4)$ est un carré. On commence par vérifier que les quatre côté ont la même longueur. Pour cela on calcule $\text{dist}(A;B)$, $\text{dist}(B;C)$, $\text{dist}(C;D)$ et $\text{dist}(D;A)$. On a
$\begin{aligned} \text{dist}(A;B)&=\sqrt{(-3-0)^2 +(1+1)^2 }=\sqrt{13}\\ \text{dist}(B;C)&=\sqrt{(-5+3)^2 +(-2-1)^2 }=\sqrt{13}\\ \text{dist}(C;D)&=\sqrt{(-2+5)^2 +(-4+2)^2 }=\sqrt{13}\\ \text{dist}(D;A)&=\sqrt{(0+2)^2 +(-1+4)^2 }=\sqrt{13}\\ \end{aligned}$
On vérifie ensuite que le quadrilatère contient au moins un angle droit, c'est-à-dire que la droite $AB$ est perpendiculaire à la droite $AD$. On a que la pente entre $AB$ vaut $-\dfrac{2}{3}$ et la pente entre $AD$ vaut $\dfrac{3}{2}$, donc les deux droites sont bien perpendiculaire, ce qui montre que $ABCD$ est un carré.

Equation d'une droite perpendiculaire passant par un point

Déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à $y=2x-1$ passant par le point $(3;4)$.
On note cette nouvelle droite $y=ax+b$. Il faut déterminer $a$ et $b$.
On commence par déterminer la pente $a$.
Par le critère de perpendicularité, $a\cdot 2=-1$, donc $a=-\dfrac{1}{2}$. Ainsi $y=-\dfrac{1}{2}x+b$.
Pour déterminer la valeur de $b$, on substitue le point $(3;4)$ dans l'équation. On a $4=-\dfrac{1}{2}\cdot 3 +b$ d'où $b=\dfrac{11}{2}$.
Ainsi, $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{2}$ est l'équation réduite de la droite recherchée.

Etude complète d'une parabole

On va étudier la parabole $f(x)=-x^2+3x-2$.

Point appartenant au graphe d'une fonction

Le point $(2;8)$ appartient-il au graphe de $f(x)=3x+1$ ? Non, il n'appartient pas à $G_f$, car $f(2)=3\cdot 2+1=7\neq 8$. Par contre, le point $(0;1)$ appartient à $G_f$, car $f(0)=3\cdot 0+1=1$.

Point d'intersection

On procède comme suit pour calculer les point d'intersection de $f(x)=-x+4$ et $g(x)=x^2-2x-2$ (noté $f\cap g$). On égalise les deux expressions \[f(x)=g(x)\] \[ -x+4=x^2-2x-2.\] On résout l'équation et on obtient deux solution $x_1=-2$ et $x_2=3$. On déduit que $f\cap g$ contient deux points dont les coordonnées sont $(-2; ?)$ et $(3; ?)$. On évalue les coordonnées des abscisses dans l'une des deux courbes (on choisit la droite par simplicité) et on obtient la deuxième coordonnée : \[f(-2)=-(-2)+4=6\] et \[f(3)=-(3)+4=1\] Ainsi, $f\cap g=\{(-2;6);(3;1)\}$.

Point d'intersection entre deux paraboles

On cherche à déterminer le point d'intersection entre les paraboles $f(x)=-3x^2+x-6$ et $g(x)=-6x^2-2$.
On égalise les deux fonctions et on résout l'équation obtenue. On a $-3x^2 +x-6=-6x^2-2$.
On résout cette équation et on obtient $x_1=-\dfrac{4}{3}$ et $x_2=1$.
On substitue ces valeur dans l'une des deux fonctions pour obtenir l'ordonnée des points d'intersection.
On calcule $f\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-10$ et $f(1)=-8$.
On a $f\cap g=\left\{\left(-\dfrac{4}{3};-10\right);(1;-8)\right\}$.

Points alignés :

Soient les points $A(1; 2)$, $B(2; 4)$ et $C(3; 6)$. Déterminer si $A, B, C$ sont alignés.
Calculons les pentes entre chaque couple de points.
On a $\text{pente}(A;B) = \dfrac{4-2}{2-1} = 2$ et $\text{pente}(A;C) = \dfrac{6-2}{3-1} = 2$.
Les pentes sont identiques, donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Tableau de signes d'une parabole

Établir un tableau de signes de la parabole $f(x)=x^2-3x+2$.
On note que le coefficient dominant, le coefficient $a$, de la parabole est positif. Ainsi, la parabole est convexe, donc positive aux extrémités.
1) On commence par déterminer les zéros de la parabole. On résout l'équation $x^2-3x-2=0$ pour obtenir $x_1=1$ et $x_2=2$.
2) On place les zéros dans un tableau et les signes $-\infty$ et $+\infty$ aux extrémités. On complète le tableau avec les signes.