Exemples (fonctions)

Voici tous les exemples du chapitre sur les fonctions

Equation d'une droite perpendiculaire passant par un point

Déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à $y=2x-1$ passant par le point $(3;4)$.
On note cette nouvelle droite $y=ax+b$. Il faut déterminer $a$ et $b$.
On commence par déterminer la pente $a$.
Par le critère de perpendicularité, $a\cdot 2=-1$, donc $a=-\dfrac{1}{2}$. Ainsi $y=-\dfrac{1}{2}x+b$.
Pour déterminer la valeur de $b$, on substitue le point $(3;4)$ dans l'équation. On a $4=-\dfrac{1}{2}\cdot 3 +b$ d'où $b=\dfrac{11}{2}$.
Ainsi, $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{2}$ est l'équation réduite de la droite recherchée.

Etude complète d'une parabole

On va étudier la parabole $f(x)=-x^2+3x-2$.

Point appartenant au graphe d'une fonction

Le point $(2;8)$ appartient-il au graphe de $f(x)=3x+1$ ? Non, il n'appartient pas à $G_f$, car $f(2)=3\cdot 2+1=7\neq 8$. Par contre, le point $(0;1)$ appartient à $G_f$, car $f(0)=3\cdot 0+1=1$.

Point d'intersection

On procède comme suit pour calculer les point d'intersection de $f(x)=-x+4$ et $g(x)=x^2-2x-2$ (noté $f\cap g$). On égalise les deux expressions \[f(x)=g(x)\] \[ -x+4=x^2-2x-2.\] On résout l'équation et on obtient deux solution $x_1=-2$ et $x_2=3$. On déduit que $f\cap g$ contient deux points dont les coordonnées sont $(-2; ?)$ et $(3; ?)$. On évalue les coordonnées des abscisses dans l'une des deux courbes (on choisit la droite par simplicité) et on obtient la deuxième coordonnée : \[f(-2)=-(-2)+4=6\] et \[f(3)=-(3)+4=1\] Ainsi, $f\cap g=\{(-2;6);(3;1)\}$.

Points alignés :

Soient les points $A(1; 2)$, $B(2; 4)$ et $C(3; 6)$. Déterminer si $A, B, C$ sont alignés.
Calculons les pentes entre chaque couple de points.
On a $\text{pente}(A;B) = \dfrac{4-2}{2-1} = 2$ et $\text{pente}(A;C) = \dfrac{6-2}{3-1} = 2$.
Les pentes sont identiques, donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Tableau de signes d'une parabole

Établir un tableau de signes de la parabole $f(x)=x^2-3x+2$.
On note que le coefficient dominant, le coefficient $a$, de la parabole est positif. Ainsi, la parabole est convexe, donc positive aux extrémités.
1) On commence par déterminer les zéros de la parabole. On résout l'équation $x^2-3x-2=0$ pour obtenir $x_1=1$ et $x_2=2$.
2) On place les zéros dans un tableau et les signes $-\infty$ et $+\infty$ aux extrémités. On complète le tableau avec les signes.